Waar een volk eenige vordering in de wiskunde maakte, daar moeten ongetwijfeld het vermogen en de wil aanwezig zijn geweest om de veelvuldigheid der bijzonderheden in een algemeenen, eenvoudigen vorm samen te vatten, en zoo te komen tot de kennis van onveranderlijke waarheden. Daar nu de oude Chineezen blijk gaven een zeer grooten aanleg en neiging te bezitten tot dit vereenvoudigen en abstraheeren, zoo zeer dat zij in hun schrift niet de verklankingen van begrippen in phonetische teekens neerlegden, doch liever door een harmonisch gebouwd schriftteeken het begrip, de idee trachtten uit te beelden, kan het ons nauwelijks verwonderen dat zij reeds vroeg goede uitkomsten verkregen.

Ik wilde U een algemeen beeld geven van die uitkomsten, door de Chineezen op wiskundig gebied verkregen, en ik zou U willen aantoonen dat zij reeds in dien tijd in staat waren tot verwerking van gecompliceerde gegevens, de stof in chronologische volgorde behandelend, gaande tot de geboorte van Christus. Immers in de eerste eeuw na Ch. kwam de Voor-Indische invloed, terwijl nog later de Westerlingen den Chineeschen wiskunstenaar bekend maakten met hun denk- en uitdrukkingswijze. Liever zullen wij ons dus wenden tot oudere perioden.

Voor het onderzoek der wiskundige kennis van een volk behoeven wij geen oude boeken: de architectonische scheppingen, die over zijn, spreken vaak een lijnentaal, wellicht duidelijker dan ooit in een boek of inscriptie kon worden aangegeven. De Indiërs evenwel hebben ook hierover ons boeken nagelaten. Men vergelijke de Çulbasûtra’s2. Maar bij de Chineezen bezitten wij nog veel oudere gegevens. De oude Chineesche godsdienst namelijk bracht een nauwkeurige observatie van den tijd mede, en zoo bezitten wij van Keizer Hwang Ti (2697–2597 v. Chr.; de historici hielden er van de oude Keizers een lang leven toe te deelen!) een vernuftig systeem voor de tijdrekening, in China tot op den huidigen dag in gebruik gebleven. Men bezigde 2 cycli, een van 10, en een van 12 bijzondere teekens, die men, door ze naast elkaar te laten voortloopen totdat hun laatste teekens samenvallen, samenvoegde tot een cyclus van 60. Telkens stelde dus een teeken uit den 10-cyclus + een teeken uit den 12-cyclus een getal voor tusschen 1 en 60. Wanneer we voor ’t gemak de teekens van den 10-cyclus door a b c . . . . j voorstellen, en die van den 12-cyclus door a′ b′ c′ . . . . l′ dan krijgen we onderstaande tabel:

   a  b  c  d  e  f  g  h  i  j  a  b  c  .  .  .  .  j
   a′ b′ c′ d′ e′ f′ g′ h′ i′ j′ k′ l′ a′ .  .  .  .  l′
   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 11 12 13  .  .  .  . 60 
		

Volgens dit systeem is dus b.v. a c′ = 51. Deze 60-cyclus werd steeds herhaald, zoodat wij oude tijdsopgaven als „in ’t jaar c a′ van Keizer X’s regeering” gemakkelijk kunnen begrijpen, wanneer we slechts de regeeringsjaren van Keizer X weten. Eveneens van zeer ouden datum is het Heilige Boek der Transformaties, de Yih Ching. De grondslagen van dit boek werden gelegd in de 12 eeuw v. Ch., doch helaas heeft de legende haar net geweven over deze oude tijden, zoodat niets met zekerheid omtrent den oorsprong bekend is, en er veel duistere plaatsen in zijn, wier juiste beteekenis verloren is gegaan in den loop der eeuwen. Ik noem dit werk hier, omdat het een mooi voorbeeld is van het vermogen tot generaliseeren der oude Chineezen. In 64 hexagrammen is namelijk een tot het uiterste vereenvoudigde cosmogonie neergelegd. De veelheid van alle verschijnselen wordt teruggeleid tot twee beginsels, die op hun beurt weer voortgekomen zijn uit een hoogere eenheid. Deze beide beginsels, het manlijke en het vrouwelijke, of wel het positieve en het negatieve (we zullen straks zien, dat de begrippen positief en negatief ook in de arithmetiek worden uitgedrukt) stelde men respectievelijk aldus voor:

Met behulp hiervan vormt men nu de z.g. Pa Kwa of 8 triagrammen, , etc. Door deze acht weer te verdubbelen, aldus: verkrijgt men 64 hexagrammen, die natuurlijk tot het oneindige kunnen worden uitgebreid. Uitvoerige commentaren verklaren elke streep der figuren, doch de echte beteekenis is verloren, en nu is het boek afgedaald tot een geliefkoosd handboek voor toekomstvoorspellers. Wij kunnen echter het scherp vernuft en den ruimen blik van dengene bewonderen, die aldus verstond de oneindigheid tot twee symbolen terug te leiden.

Het eerste werk, dat uitsluitend de mathematica behandelt, is de Chow Pei Suan Ching, in twee deelen, waarvan de schrijver echter onbekend is. Het eerste deel behandelt in dialoog-vorm eenige wiskundig-philosophische problemen, het tweede deel den kalender. Het werk geeft een beeld van de wiskunde omstreeks de 12de eeuw v. Ch. Mikami leidt uit den dialoog af, dat de oude Chineezen het theorema van Pythagoras kenden en wisten toe te passen.

Vervolgens is het belangwekkend een passage uit de werken van den wijsgeer Mo Ti (5de eeuw v. Ch.) aan te halen. Deze philosoof schijnt, naast verheven concepties betreffende de algemeene menschenliefde, ook een grooten mathematischen aanleg bezeten te hebben. Hij was een bekwaam vestingbouwkundige, die vernuftige aanvals- en afweerwerktuigen construeerde en beschreef.

In zijn Dialektiek lezen wij:

„Een cirkel heeft een middelpunt met gelijke afstanden.”

„De som van de hoeken van een rechthoekige zuil vormen een cirkel” (4 × 90° = 360°).

Voorts een experiment, dat ik naar de vertaling van Prof. Forke weergeef:

„Für zwei zusammenliegende Gegenstände gibt es ein Experiment: Ein viereckiger Stein ist einen Fusz von der Erde entfernt. Unter ihm ruht ein Pfeilerstein. Hängt man nun einen Seidenfaden darüber auf und läszt ihn bis zu dem viereckigen Steine reichen, so geht er nicht tiefer, denn da wird er aufgehalten. Leimt man den Faden an den Stein und hebt diesen fort, so ist das ein Tragen durch Hängenlassen. Zerreiszt der Faden, so ist das die Folge der Zugkraft. Erfolgt keine Veränderung und wechselt nur der Name, so redet man von Stützen.”

Hier heeft Mo Ti dus willen aangeven druk, veerkracht en zwaartekracht.

Alvorens met de bespreking van wiskundige werken verder te gaan, wilde ik eerst even het getallensysteem behandelen. Voor het rekenen bezigde men bamboestaafjes, waarmede de getallen van 1 tot 5 als volgt werden weergegeven:

En van 5 tot 9:

Men stelde dus de getallen <5 voor door evenveel verticale staafjes als eenheden, en de getallen >5 door 1 horizontaal staafje = 5, plus verticale staafjes. Voor de tientallen plaatste men de staafjes juist andersom:

Deze getallen werden, evenals de onze, horizontaal gelezen. Aanvankelijk werd de plaats, waar wij een nul zouden zetten, opengelaten; later werd vermoedelijk van uit Indië een klein cirkeltje ingevoerd. Negatieve getallen werden voorgesteld door roode stokjes, positieve door zwarte. Volgens dit systeem schreef men het getal 864:

Het meest uitgebreide werk is de Chiu Chang Suan Ching, het Boek der Arithmetica in Negen Afdeelingen, waarvan talrijke commentaren over zijn. Het ligt buiten het bestek van dit artikeltje, elk van deze afdeelingen, hoe interessant zij overigens ook zijn, nader te bespreken. Den belangstellende zij verwezen naar de in noot 1 vermelde werken. Ik doe slechts eenige grepen er uit: Het oppervlak van een driehoek is gelijk basis × halve hoogte; Het oppervlak van een trapezium is gelijk de halve som van de evenwijdige zijden × hoogte; Bij een berekening van het cirkeloppervlak geven zij voor π 3; Bewerkingen met breuken; Inhoud van verschillende lichamen; etc. etc.

De laatste afdeeling is gewijd aan den rechthoekigen driehoek. De 24 opgaven, hier gegeven, kunnen alle worden opgelost met het theorema van Pythagoras. In het wiskundig jargon dat men gebruikte, noemde men de beide rechthoekszijden ku en kiü, en de hypotenusa hsien (is gelijk: snaar, koord).

Een zoo’n vraagstuk luidt:

„Er is een bamboe van 10 voet hoog; men breekt den top, zóó dat de afstand van het neergebogen eind tot den stam 3 voet bedraagt. Gevraagd wordt de hoogte van de breuk.”

De oude Chineezen blijken groote vaardigheid te hebben bezeten in het trekken van den vierkantswortel. Deze bewerking noemden zij k’ai fang (= het openen van het vierkant).

Ik kan mij niet weerhouden hier een oud Chineesch vraagstuk aan te halen.

„Een vrouw was bezig borden te wasschen in een rivier, toen een ambtenaar, die toezicht op het water moest houden, haar vroeg: „Hoe komen al deze schotels hier?” De vrouw antwoordde: „Omdat er een groot feest gevierd is.” Vervolgens vroeg de ambtenaar, hoeveel gasten er waren geweest. „Ik weet niet, hoeveel gasten er geweest zijn,” was het antwoord, „maar 2 gasten hadden telkens 1 schotel tusschen zich in voor de rijst; elke 3 hadden een schotel voor soep; elke 4 hadden een schotel voor vleesch, en er waren in het geheel 65 schotels.”

„Methode: Leg de 65 schotels op een rij, en vermenigvuldig ze met 12, zoodat we 780 krijgen. Als wij nu door 13 deelen, verkrijgen wij het antwoord.”

Ten slotte noem ik hier nog eenige werken uit een latere periode, nl. de Hai Tao Suan Ching of wel „Boek der Arithmetica van het Eiland der Zee”, en de Wu Ts’ao Suan Ching, die beide reeksen opgaven bieden, met soms zonderlinge oplossingen. Als van vele oude Chineesche werken is de tekst vaak corrupt.

Wij zien dus, hoe ondanks een weerbarstige taal de oude Chineesche wiskunstenaars toch er in slaagden in hun geliefkoosde studie bevredigende resultaten te verkrijgen. Het is uiterst belangwekkend eens na te gaan, hoe dezelfde wetten benaderd werden door een ander volk. Ik hoop er in geslaagd te mogen zijn door dit beknopt overzicht U te overtuigen van het vermogen tot abstraheeren en generaliseeren der oude Chineezen, en Uw belangstelling op te wekken voor een methode en denkwijze, anders dan de eigene. Immers niet alleen docendo, doch ook comparando discimus.